 |
 |
 |
|
ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Буль предпринял попытку построить формальную логику в виде некоторого "исчисления", "алгебры". Буль изобрел своеобразную алгебру - систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).
ВВЕДЕНИЕ В БУЛЕВУ АЛГЕБРУ
Теоретической базой при проектировании современных цифровых устройств, предназначенных для целей числовых вычислений, решения логических задач и задач управления, являются булева алгебра, двоичная арифметика и теория конечных автоматов. Логика - это наука о законах и формах мышления, математическая же логика занимается применением формальных математических методов для решения логических задач.
Базовым понятием булевой алгебры является понятие высказывания, под которым понимается любое утверждение, рассматриваемое только с точки зрения его истинности или ложности. В булевой алгебре не существует истинно-ложных или ложно-истинных высказываний. Высказывание можно рассматривать как логическую переменную, которая может принимать различные значения, например, высказывание “сегодня понедельник” будет истинным в понедельник и ложным во все остальные дни недели. Исчисление высказываний как раз и основано на том, что их можно рассматривать как двоичные переменные, которые могут принимать одно из двух своих значений. Примерами двоичных логических переменных являются разряды чисел, представленных в двоичной системе счисления; замкнутый или разомкнутый контакт; наличие или отсутствие тока в цепи; высокий или низкий потенциал в какой-либо точке схемы и т.п.
Высказывание называется простым, если значение его истинности не зависит от значений истинности других высказываний, и сложным, если значение его истинности зависит от других высказываний. Сложное высказывание можно рассматривать логической функцией, зависящей от простых высказываний и принимающей также два значения (истина, ложь). В свою очередь сложные высказывания могут служить переменными (аргументами) более сложных функций, т.е. при построении логических функций справедлив принцип суперпозиции.
Огромное значение для развития современной вычислительной техники сыграли работы английского ученого Джорджа Буля. Его теоретическая работа и введенные им операции над двоичными данными (логическое сложение, умножение и отрицание) стали теперь называться булевской (булевой) алгеброй. Современные микросхемы, использующиеся в компьютерах, выполняют с данными именно такие операции.
БУЛЕВА АЛГЕБРА
Булевой алгеброй называется произвольное множество элементов a, b, c, ... , для которых определены две операции - сложение и умножение, сопоставляющие каждым двум элементам a и b их сумму a + b и произведение a b ; определена операция "отрицание", сопоставляющая каждому элементу a новый элемент (-a) ; имеются два "особых" элементов 0 и 1 и выполняются следующие правила:
· коммутативные законы:
a + b = b + a ; a b = b a
· ассоциативные законы:
( a + b ) + c = a + ( b + c ) ; ( a b ) c = a ( b c )
· идемпотентные законы: a + a = a ; a a = a
· дистрибутивные законы:
( a + b ) c = a c + b c ; a b + c = ( a + c )( b + c )
· отрицание отрицания: (-(-a)) = a
· для 0 : a + 0 = a ; a 0 = 0 ; (-0) = 1
· для 1 : a + 1 = 1 ; a 1 = a ; (-1) = 0
· правила де Моргана:
(-( a + b )) = (-a) (-b) ; (-( a b )) = (-a) + (-b)
Замечание 1. Для определения алгебры Буля можно обойтись лишь одной из операцией сложения или умножения вместе с операцией отрицания, например, умножение можно определить: a b = (-( (-a) + (-b) )) (через правила де Моргана).
Замечание 2. Это определение "неэкономно". Многие свойства могут быть выведены из других, но эта система непротиворечива и удобна для исследования.
|
